Měření síly – náhodné chyby

Měření hmotnosti pomocí tenzometrů (Vyhodnocení chyb)

Tato úloha se zabývá vyhodnocením dat a určením náhodných chyb jednotlivých odečtů měření.

Zadání

  1. Zkalibrujte celý měřicí systém včetně celého měřicího řetězce.
  2. Proveďte měření pro 3 konstantní hodnoty hmotnosti (soubor 30 hodnot).
  3. Určete náhodné chyby jednotlivých odečtů a aritmetického průměru pro soubor 10, 20 a 30 měření a porovnejte jejich velikosti.
  4. Sestrojte empirickou křivku četnosti chyb pro daný soubor měření a vyhodnoťte jejich průběh.

Schéma zapojení

Obr. 1 Blokové schéma zapojení – řetězec

Teoretický rozbor

  1. Náhodné chyby (chyby stálosti) jednotlivých měření nebo aritmetického průměru je možno určit jen z většího počtu měření statistickými metodami. Již samým výpočtem aritmetického průměru ze souboru n měření se přibližujeme ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Hovoříme o tom, že aritmetický průměr x¯  je nejlepším odhadem skutečné hodnoty měřené veličiny xS :

Při praktických výpočtech volíme obyčejně počet měření dosti malý, např. n = 10 či dokonce n = 5. Gaussův (normální) zákon rozdělení náhodných chyb předpokládá, že relativní četnost neboli hustota pravděpodobnosti chyby je vyjádřena vztahem:

Kde   je střední kvadratická odchylka.

Průběh  φ(ε) je znázorněn na Obr. 2.

Obr. 2 Normální Gaussův zákon rozdělení náhodných chyb

Pro počet měření   – tak jak to v praxi často bývá, můžeme střední kvadratickou odchylku pouze odhadnout. Odhad chyby jednoho měření Sx lze pak vyjádřit vztahem:

Protože se teoreticky mohou vyskytnout i chyby poměrně velké (ovšem se značně malou pravděpodobností), je možno odhad chyby měření popsat rovněž pravděpodobností, s jakou se vyskytne větší skutečná chyba v poměru k chybám menším, než je chyba vypočtená. Vztah mezi rozpětím konfidenčního intervalu (tj. k-násobkem střední kvadratické odchylky σ ) a pravděpodobností, že skutečná hodnota xS bude v mezích tohoto intervalu, je zřejmý z následující tabulky 1.

V praxi volíme velikost konfidenčního intervalu a tím i součinitel k = 3, to znamená, že mezní (maximální) náhodná chyba , takže pravděpodobnost, že skutečná hodnota měřené veličiny xs se nachází v intervalu ±3SX je 99,73%, což je hodnota dostatečně velká. Odhad chyby jednotlivých měření SX je předpokládaná chyba každého jednotlivého odečtu (bez ohledu na skutečně provedenou chybu) a počítá se proto, abychom věděli, s jakou chybou budeme na přístroji i nadále měřit za přibližně stejných podmínek. Častěji se používá odhadu náhodné chyby aritmetického průměru   která je dána vztahem 4.

Tabulka 1

Postup při sestrojení empirické křivky četnosti chyb odpovídající přibližně Gaussovu normálnímu rozložení náhodných chyb:

  1. Do grafu (Obr. 3) na vodorovnou osu vynášíme velikost jak kladných, tak záporných zdánlivých odchylek . Každou jednotlivou chybu vyznačíme na této ose kroužkem.
  2. Na svislé ose vyneseme celkový počet odchylek.
  3. Zvolíme vhodnou velikost intervalu I pro vodorovnou osu a nakreslíme ji na pomocný papír.
  4. Tímto intervalem posouváme ve vhodně malých krocích (např. 1/5 I) po vodorovné ose z jedné strany na druhou a postupně v každém místě zjistíme počet odchylek v tom intervalu I, který vyneseme na svislou osu uprostřed intervalu I, v odpovídajícím měřítku (viz příklad na Obr. 3).
  5. Výsledná stupňovitá křivka by pro dostatečně velký počet měření n (n > 100), dostatečně malý interval I a krok posuvu se měla blížit Gaussově křivce normálního rozdělení chyb za předpokladu, že jsou vyloučeny hrubé a systematické chyby. Do takto získané křivky zakreslíme vypočtené chyby .

Obr. 3 Sestrojení empirické křivky rozdělení náhodných chyb

 

Postup měření

  1. Před vlastním měřením provedeme kalibraci měřicího systému. Senzor má lineární závislost, proto je nutno změřit min. 2 hodnoty statické charakteristiky např. při hodnotě 0 kg a 1 kg, hodnoty z převodníku překopírujeme do dvou řádků kalibrační tabulky v softwarové podpoře.
  2. Pro 3 vybrané hodnoty hmotnosti provedeme 30x (např. každých 5 s) měření a uložíme do souborů. Při těchto měřeních je nutno zachovat konstantní všechny okolnosti, ovlivňující měření (jeden pozorovatel provádějící odečet hodnot, kolísání otáček ventilátoru,…)
  3. Údaje budeme uvažovat bez systematických chyb. Z prvních desíti, prvních dvaceti a konečně ze všech třiceti odečtů se vypočte aritmetický průměr, aby bylo možno zhodnotit rozdíly změřených výsledků. Pro jednotlivé počty měření n = 10, n = 20, n = 30 vypočtěte odhad chyby aritmetického průměru dle vztahu (4). Dosažené velikosti chyb vyneste do tabulky a grafu a zhodnoťte!
  4. Z celkového počtu 30 měření a jejich jednotlivých odchylek  [ kg ] sestrojte empirickou Gaussovu křivku výskytu chyb. Proveďte rozbor jejího průběhu, zhodnoťte vliv systematických chyb na měření, zakreslete do sestrojené křivky konfidenční intervaly odpovídající chybám.

Tabulka 2 Tabulka náhodných chyb měření tlaku

Závislosti velikosti náhodných chyb na počtu měření

 

Kontrolní otázky

  1. Uveďte postup výpočtu náhodných chyb souboru n hodnot.
  2. Jaký je rozdíl mezi odhadem chyby jednotlivých měření a odhadem chyby aritmetického průměru?
  3. Co vyjadřuje Gaussova křivka normálního rozdělení chyb, jakým je popsána vztahem?

Odpovědi k otázkám