Vyhodnocení náhodných chyb

Vyhodnocení náhodných chyb při měření tlaku

Tato úloha se zabývá vyhodnocením dat a určením náhodných chyb jednotlivých odečtů měření.

Zadání

  1. Přesně změřit přetlak v měřeném objektu.
  2. Určit náhodné chyby jednotlivých odečtů a aritmetického průměru pro soubor 10, 20 a 30 měření a porovnat jejich velikosti.
  3. Sestrojit empirickou křivku četnosti chyb pro daný soubor měření a vyhodnotit jejich průběh

Schéma zapojení

Obr. 1 Blokové schéma zapojení

Teoretický rozbor

  1. Náhodné chyby (chyby stálosti) jednotlivých měření nebo aritmetického průměru je možno určit jen z většího počtu měření statistickými metodami. Již samým výpočtem aritmetického průměru ze souboru n měření se přibližujeme ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Hovoříme o tom, že aritmetický průměr x¯  je nejlepším odhadem skutečné hodnoty měřené veličiny xS :

Při praktických výpočtech volíme obyčejně počet měření dosti malý, např. n = 10 či dokonce n = 5. Gaussův (normální) zákon rozdělení náhodných chyb předpokládá, že relativní četnost neboli hustota pravděpodobnosti chyby je vyjádřena vztahem:

Kde   je střední kvadratická odchylka.

Průběh  φ(ε) je znázorněn na Obr. 2.

Obr. 2 Normální Gaussův zákon rozdělení náhodných chyb překreslit

Pro počet měření   – tak jak to v praxi často bývá, můžeme střední kvadratickou odchylku pouze odhadnout. Odhad chyby jednoho měření Sx lze pak vyjádřit vztahem:

Protože se teoreticky mohou vyskytnout i chyby poměrně velké (ovšem se značně malou pravděpodobností), je možno odhad chyby měření popsat rovněž pravděpodobností, s jakou se vyskytne větší skutečná chyba v poměru k chybám menším, než je chyba vypočtená. Vztah mezi rozpětím konfidenčního intervalu (tj. k-násobkem střední kvadratické odchylky σ ) a pravděpodobností, že skutečná hodnota xS bude v mezích tohoto intervalu, je zřejmý z následující tabulky 1.

V praxi volíme velikost konfidenčního intervalu a tím i součinitel k = 3, to znamená, že mezní (maximální) náhodná chyba , takže pravděpodobnost, že skutečná hodnota měřené veličiny xs se nachází v intervalu ±3SX je 99,73%, což je hodnota dostatečně velká. Odhad chyby jednotlivých měření SX je předpokládaná chyba každého jednotlivého odečtu (bez ohledu na skutečně provedenou chybu) a počítá se proto, abychom věděli, s jakou chybou budeme na přístroji i nadále měřit za přibližně stejných podmínek. Častěji se používá odhadu náhodné chyby aritmetického průměru   která je dána vztahem 4.

Tabulka 1

  1. b) Postup při sestrojení empirické křivky četnosti chyb odpovídající přibližně Gaussovu normálnímu rozložení náhodných chyb:
  2. Do grafu (Obr. 3) na vodorovnou osu vynášíme velikost jak kladných, tak záporných zdánlivých odchylek . Každou jednotlivou chybu vyznačíme na této ose kroužkem.
  3. Na svislé ose vyneseme celkový počet odchylek
  4. Zvolíme vhodnou velikost intervalu I pro vodorovnou osu a nakreslíme ji na pomocný papír (např. )
  5. Tímto intervalem posouváme ve vhodně malých krocích (např. 1/5 I) po vodorovné ose z jedné strany na druhou a postupně v každém místě zjistíme počet odchylek v tom intervalu I, který vyneseme na svislou osu uprostřed intervalu I, v odpovídajícím měřítku (viz příklad na Obr. 3).
  6. Výsledná stupňovitá křivka by pro dostatečně velký počet měření n (n > 100), dostatečně malý interval I a krok posuvu se měla blížit Gaussově křivce normálního rozdělení chyb za předpokladu, že jsou vyloučeny hrubé a systematické chyby. Do takto získané křivky zakreslíme vypočtené chyby .

Obr. 3 Sestrojení empirické křivky rozdělení náhodných chyb překreslit

 

Postup měření

  1. Před vlastním měřením provedeme seřízení mikromanometru Askania (Obr. 4) na nulovou hodnotu pro daný barometrický tlak
  2. Zapojíme ventilátor přes magnetický stabilizátor napětí, abychom vyloučili chyby v důsledku kolísání napětí sítě. Uvedeme spínačem ventilátor do provozu a po ustálení chodu (asi 20 min) můžeme měřit tlak v tlakovzdušném zařízení – modelu sušící pece. Prvních 10 měření provedeme zkušebně, abychom eliminovali osobní chybu při odečítání hodnot tlaku z mikromanometru
  3. Průměrný statický tlak změříme v daném odběrovém místě, celkem 30 krát. Při těchto měřeních je nutno zachovat konstantní všechny okolnosti, ovlivňující měření (jeden pozorovatel provádějící odečet hodnot, kolísání otáček ventilátoru,…)
  4. Údaje mikromanometru budeme uvažovat bez systematických chyb. Z prvních desíti, prvních dvaceti a konečně ze všech třiceti odečtů se vypočte aritmetický průměr, aby bylo možno zhodnotit rozdíly změřených výsledků. Pro jednotlivé počty měření n = 10, n = 20, n = 30 vypočtěte odhad chyby aritmetického průměru dle vztahu (4). Dosažené velikosti chyb vyneste do tabulky a grafu a zhodnoťte!
  5. Z celkového počtu 30 měření a jejich jednotlivých odchylek  [ Pa ] sestrojte empirickou Gaussovu křivku výskytu chyb. Proveďte rozbor jejího průběhu, zhodnoťte vliv systematických chyb na měření, zakreslete do sestrojené křivky konfidenční intervaly odpovídající chybám.

Tabulka 2 Tabulka náhodných chyb měření tlaku

Závislosti velikosti náhodných chyb na počtu měření

 

Tabulka 3 Měření tlaku vzduchu a výpočty náhodných chyb

Kontrolní otázky

  1. Uveďte postup výpočtu náhodných chyb souboru n hodnot.
  2. Jaký je rozdíl mezi odhadem chyby jednotlivých měření a odhadem chyby aritmetického průměru?
  3. Co vyjadřuje Gaussova křivka normálního rozdělení chyb, jakým je popsána vztahem?
  4. Vysvětlete princip kompenzačního mikromanometru.

Odpovědi k otázkám

 

 

Příloha č. 1 Kompenzační mikromanometr “Askania“

Tento mikromanometr měří tlak nebo rozdíl tlaků asi od 0,02 kp/cm2 ( 200 mm v.s.) = 1961,33 Pa přesným změřením rozdílu hladin náplně (vody) ve spojitých nádobách. Rozlišovací schopnost je polovina dílku stupnice tj. 0,005 mm v.s.

Obr. 4 Mikromanometr Askania

Seřízení mikromanometru na nulu se provádí při odpojeném zdroji tlaku. Šroubem Š se nastaví podle stupnice S i dle jemného dělení na hlavici šroubu H nádobka N na nulu. Celý mikromanometr se pomocí stavěcích šroubů na podstavci dle vodováhy nastaví přesně do předepsané polohy. Pak se seřídí hladina měřicí nádobky M pomocí stavěcí matice A na nulu. Při tomto seřízení se musí hrot u hladiny nádobky právě dotknout svého zrcadlového obrazu v hladině. (U velmi přesných měření se rovnováha nastaví při menší kladné hodnotě).

Pak se šroubem zhruba nastaví předpokládaná hodnota tlaku a měřený tlak nebo rozdíl tlaků se připojí. Šroubem H pohybujeme nádobou N tak, aby se hrot v kompenzační nádobě přesně dotýkal hladiny. V tom případě je tlak Ps roven hydrostatickému tlaku sloupce kapaliny. Jeho výšku odečítáme na stupnicích S a H s přesností 0,01 mm (1 dílek na stupnici H). Tento údaj se převede podle náplně na jednotky tlaku dle SI.