Vyhodnocení náhodných chyb při měření tlaku
Tato úloha se zabývá vyhodnocením dat a určením náhodných chyb jednotlivých odečtů měření.
Zadání
- Přesně změřit přetlak v měřeném objektu.
- Určit náhodné chyby jednotlivých odečtů a aritmetického průměru pro soubor 10, 20 a 30 měření a porovnat jejich velikosti.
- Sestrojit empirickou křivku četnosti chyb pro daný soubor měření a vyhodnotit jejich průběh
Schéma zapojení
Obr. 1 Blokové schéma zapojení
Teoretický rozbor
- Náhodné chyby (chyby stálosti) jednotlivých měření nebo aritmetického průměru je možno určit jen z většího počtu měření statistickými metodami. Již samým výpočtem aritmetického průměru ze souboru n měření se přibližujeme ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Hovoříme o tom, že aritmetický průměr x¯ je nejlepším odhadem skutečné hodnoty měřené veličiny xS :
Při praktických výpočtech volíme obyčejně počet měření dosti malý, např. n = 10 či dokonce n = 5. Gaussův (normální) zákon rozdělení náhodných chyb předpokládá, že relativní četnost neboli hustota pravděpodobnosti chyby je vyjádřena vztahem:
Kde je střední kvadratická odchylka.
Průběh φ(ε) je znázorněn na Obr. 2.
Obr. 2 Normální Gaussův zákon rozdělení náhodných chyb překreslit |
Pro počet měření – tak jak to v praxi často bývá, můžeme střední kvadratickou odchylku pouze odhadnout. Odhad chyby jednoho měření Sx lze pak vyjádřit vztahem:
Protože se teoreticky mohou vyskytnout i chyby poměrně velké (ovšem se značně malou pravděpodobností), je možno odhad chyby měření popsat rovněž pravděpodobností, s jakou se vyskytne větší skutečná chyba v poměru k chybám menším, než je chyba vypočtená. Vztah mezi rozpětím konfidenčního intervalu (tj. k-násobkem střední kvadratické odchylky σ ) a pravděpodobností, že skutečná hodnota xS bude v mezích tohoto intervalu, je zřejmý z následující tabulky 1.
V praxi volíme velikost konfidenčního intervalu a tím i součinitel k = 3, to znamená, že mezní (maximální) náhodná chyba , takže pravděpodobnost, že skutečná hodnota měřené veličiny xs se nachází v intervalu ±3SX je 99,73%, což je hodnota dostatečně velká. Odhad chyby jednotlivých měření SX je předpokládaná chyba každého jednotlivého odečtu (bez ohledu na skutečně provedenou chybu) a počítá se proto, abychom věděli, s jakou chybou budeme na přístroji i nadále měřit za přibližně stejných podmínek. Častěji se používá odhadu náhodné chyby aritmetického průměru která je dána vztahem 4.
Tabulka 1
- b) Postup při sestrojení empirické křivky četnosti chyb odpovídající přibližně Gaussovu normálnímu rozložení náhodných chyb:
- Do grafu (Obr. 3) na vodorovnou osu vynášíme velikost jak kladných, tak záporných zdánlivých odchylek . Každou jednotlivou chybu vyznačíme na této ose kroužkem.
- Na svislé ose vyneseme celkový počet odchylek
- Zvolíme vhodnou velikost intervalu I pro vodorovnou osu a nakreslíme ji na pomocný papír (např. )
- Tímto intervalem posouváme ve vhodně malých krocích (např. 1/5 I) po vodorovné ose z jedné strany na druhou a postupně v každém místě zjistíme počet odchylek v tom intervalu I, který vyneseme na svislou osu uprostřed intervalu I, v odpovídajícím měřítku (viz příklad na Obr. 3).
- Výsledná stupňovitá křivka by pro dostatečně velký počet měření n (n > 100), dostatečně malý interval I a krok posuvu se měla blížit Gaussově křivce normálního rozdělení chyb za předpokladu, že jsou vyloučeny hrubé a systematické chyby. Do takto získané křivky zakreslíme vypočtené chyby .
Obr. 3 Sestrojení empirické křivky rozdělení náhodných chyb překreslit |
Postup měření
- Před vlastním měřením provedeme seřízení mikromanometru Askania (Obr. 4) na nulovou hodnotu pro daný barometrický tlak
- Zapojíme ventilátor přes magnetický stabilizátor napětí, abychom vyloučili chyby v důsledku kolísání napětí sítě. Uvedeme spínačem ventilátor do provozu a po ustálení chodu (asi 20 min) můžeme měřit tlak v tlakovzdušném zařízení – modelu sušící pece. Prvních 10 měření provedeme zkušebně, abychom eliminovali osobní chybu při odečítání hodnot tlaku z mikromanometru
- Průměrný statický tlak změříme v daném odběrovém místě, celkem 30 krát. Při těchto měřeních je nutno zachovat konstantní všechny okolnosti, ovlivňující měření (jeden pozorovatel provádějící odečet hodnot, kolísání otáček ventilátoru,…)
- Údaje mikromanometru budeme uvažovat bez systematických chyb. Z prvních desíti, prvních dvaceti a konečně ze všech třiceti odečtů se vypočte aritmetický průměr, aby bylo možno zhodnotit rozdíly změřených výsledků. Pro jednotlivé počty měření n = 10, n = 20, n = 30 vypočtěte odhad chyby aritmetického průměru dle vztahu (4). Dosažené velikosti chyb vyneste do tabulky a grafu a zhodnoťte!
- Z celkového počtu 30 měření a jejich jednotlivých odchylek [ Pa ] sestrojte empirickou Gaussovu křivku výskytu chyb. Proveďte rozbor jejího průběhu, zhodnoťte vliv systematických chyb na měření, zakreslete do sestrojené křivky konfidenční intervaly odpovídající chybám.
Tabulka 2 Tabulka náhodných chyb měření tlaku
Závislosti velikosti náhodných chyb na počtu měření
Tabulka 3 Měření tlaku vzduchu a výpočty náhodných chyb
Kontrolní otázky
- Uveďte postup výpočtu náhodných chyb souboru n hodnot.
- Jaký je rozdíl mezi odhadem chyby jednotlivých měření a odhadem chyby aritmetického průměru?
- Co vyjadřuje Gaussova křivka normálního rozdělení chyb, jakým je popsána vztahem?
- Vysvětlete princip kompenzačního mikromanometru.
Odpovědi k otázkám
Příloha č. 1 Kompenzační mikromanometr “Askania“
Tento mikromanometr měří tlak nebo rozdíl tlaků asi od 0,02 kp/cm2 ( 200 mm v.s.) = 1961,33 Pa přesným změřením rozdílu hladin náplně (vody) ve spojitých nádobách. Rozlišovací schopnost je polovina dílku stupnice tj. 0,005 mm v.s.
Obr. 4 Mikromanometr Askania |
Seřízení mikromanometru na nulu se provádí při odpojeném zdroji tlaku. Šroubem Š se nastaví podle stupnice S i dle jemného dělení na hlavici šroubu H nádobka N na nulu. Celý mikromanometr se pomocí stavěcích šroubů na podstavci dle vodováhy nastaví přesně do předepsané polohy. Pak se seřídí hladina měřicí nádobky M pomocí stavěcí matice A na nulu. Při tomto seřízení se musí hrot u hladiny nádobky právě dotknout svého zrcadlového obrazu v hladině. (U velmi přesných měření se rovnováha nastaví při menší kladné hodnotě).
Pak se šroubem zhruba nastaví předpokládaná hodnota tlaku a měřený tlak nebo rozdíl tlaků se připojí. Šroubem H pohybujeme nádobou N tak, aby se hrot v kompenzační nádobě přesně dotýkal hladiny. V tom případě je tlak Ps roven hydrostatickému tlaku sloupce kapaliny. Jeho výšku odečítáme na stupnicích S a H s přesností 0,01 mm (1 dílek na stupnici H). Tento údaj se převede podle náplně na jednotky tlaku dle SI.